Paradoxos

Definição em armadilha

Considere \(R = \{X \mid X \notin X\}\).

• Se \(R \in R\), então pela definição \(R \notin R\).
• Se \(R \notin R\), então pela regra \(R \in R\).
• A compreensão irrestrita de conjuntos cria essa contradição.

Diagramas e metáforas

• Caixas dentro de caixas: algumas caixas têm miniaturas próprias; a caixa "sem miniatura" precisa confirmar se ela mesma tem miniatura.
• Lista proibida: tente construir uma lista de livros que não mencionam a si mesmos; quando chegar ao catálogo, não há decisão segura.
• Sistema operacional: um antivírus elimina programas que não se auto-protegem; avaliar o próprio antivírus derruba o sistema.

Saídas históricas

1. Teoria dos tipos: separa níveis, impedindo que um conjunto fale de conjuntos do mesmo nível.
2. Axioma da separação (ZFC): só podemos formar subconjuntos de um conjunto já existente.
3. Teoria dos conjuntos não bem fundados: permite laços, mas exige regras especiais para evitarem contradição.

Exemplos intuitivos

• Conjunto dos números naturais não contém a si mesmo, pois elementos precisam ser números.
• Conjunto de todos os conceitos não existe em ZFC, pois não há um universo "total" disponível.
• Catálogos reais sempre têm recortes temáticos para impedir o paradoxo.

Curiosidades

• Russell descobriu o paradoxo ao analisar os Fundamentos da Matemática de Frege.
• Frege adicionou um apêndice reconhecendo que seu sistema ruía.
• Computação moderna usa tipos exatamente para proibir funções que recebem a si mesmas sem contrato.

Mini exercícios

1. Modele o paradoxo em pseudocódigo e mostre onde a execução trava.
2. Desenhe um fluxograma com dois níveis de conjuntos para mostrar como tipos resolvem o problema.
3. Pesquise um exemplo de teoria não bem fundada e descreva como ela lida com \(X \in X\).

Conclusão

Nem toda definição "que parece caber em um parágrafo" é segura; precisamos certificar quem observa quem, porque alguns conjuntos escapam segurando o espelho com as duas mãos.