Esfera que se Multiplica
O paradoxo Banach–Tarski diz que uma esfera pode ser cortada em poucas partes e remontada em duas esferas idênticas.
Receita improvável
- Escolha uma esfera sólida.
- Use o axioma da escolha para selecionar pontos em órbitas rotacionais.
- Separe em cinco pedaços não mensuráveis e reorganize-os em duas cópias perfeitas.
Nenhum corte é “fino” ou prático; as partes são tão fragmentadas que não possuem volume definido.
Ferramentas matemáticas
- Axioma da escolha: garante a seleção de representantes em conjuntos infinitos.
- Grupos de rotações: particionam a esfera em órbitas de simetria.
- Conjuntos não mensuráveis: não obedecem à medida de Lebesgue, logo não têm volume.
Mal-entendidos comuns
- Não há processo físico; cortes exigiriam precisão infinita.
- A conservação de volume da física não é violada — o paradoxo vive no mundo matemático.
- Funciona apenas em 3D ou dimensões maiores; planos bidimensionais não permitem a duplicação.
Visualizações criativas
- Pense na esfera como massa holográfica que pode ser reindexada em voxels sem medida.
- Imagine grupos de rotações como DJs sincronizando pontos com ritmos diferentes.
- Desenhe diagramas de grafos mostrando como cada pedaço se move por rotações e traduções.
Curiosidades
- Proposto em 1924, foi um choque para matemáticos interessados em medida.
- Usa apenas cinco peças, menos do que muita gente imagina.
- Inspirou esculturas que brincam com cópias duplicadas de volumes.
Mini exercícios
- Explique por que o paradoxo não funciona no plano usando apenas cortes mensuráveis.
- Pesquise o grupo livre em dois geradores \(F_2\) e descreva sua relação com rotações da esfera.
- Desenhe um infográfico simples mostrando as cinco etapas do processo.
Conclusão
A esfera que se multiplica lembra que intuição geométrica precisa de axiomas para ficar de pé — quando a medida cochila, as esferas se duplicam.