Paradoxos

Instantes imóveis

Em cada instante \(t\), a flecha ocupa uma posição fixa no espaço.

• Logo, em cada instante considerado isoladamente, ela está "parada".
• Somando instantes parados, haveria um movimento parado — aparente contradição.
• Zenão usa essa linha para desafiar a noção de movimento contínuo.

Dicotomia e série infinita

Outra versão exige percorrer metade do caminho, depois metade do restante, e assim por diante:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1\)

A matemática moderna mostra que somas infinitas podem convergir, resolvendo a dicotomia.

Resposta com cálculo

• Funções contínuas: descrevemos a posição como \(x(t)\); derivadas capturam a velocidade instantânea.
• Limites: definimos movimento como o limite de deslocamentos cada vez menores.
• Medida de tempo: instantes não têm duração; somar "instantes" não equivale a adicionar intervalos.

Analogias

• Vídeo em câmera lenta: cada frame é estático, mas a sequência gera movimento.
• Download parcelado: arquivos chegam em pacotes menores; ao fim a soma alcança 100%.
• Percurso musical: notas individuais são congeladas, mas a melodia se move.

Curiosidades

• Aristóteles já criticava Zenão, mas só com cálculo infinitesimal veio uma resposta formal.
• O paradoxo inspirou debates sobre o conceito de tempo na física moderna.
• Series convergentes aparecem em computação gráfica para suavizar movimentos discretos.

Mini exercícios

1. Represente graficamente a soma \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/2^n\).
2. Descreva em palavras como o limite \(\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}\) resolve o paradoxo.
3. Crie uma versão própria do paradoxo usando passos fracionários em um tabuleiro.

Conclusão

Paradoxos de movimento nos lembram de que o tempo contínuo precisa de linguagem matemática cuidadosa — flechas paradas voltam a voar quando aprendemos a somar infinitudes.